Richiami del teorema di Dandelin-Quetelet

La rappresentazione della sfera in proiezione assonometrica obliqua

Immagine tratta da: Docci, Migliari, Scienza della rappresentazione, NIS, 1992

Il teorema di Dandelin-Quetelet afferma che i fuochi dell'ellisse proiezione del contorno apparente di una sfera, rispetto ad un'assegnata direzione di proiezione, sono le proiezioni degli estremi del diametro della sfera che è perpendicolare al piano del quadro.

Nell'assonometria obliqua le rette proiettanti che inviluppano la sfera sono oblique rispetto al piano di proiezione: ciò significa che la proiezione del contorno apparente della sfera non è un cerchio ma un'ellisse. Tutti i diametri del contorno apparente della sfera subiscono una deformazione nella proiezione, tranne quello che è parallelo al piano di proiezione (e che costituirà l’asse minore dell’ellisse).

Apollonio da Perga, nel III secolo a.C., dimostrò che le ellissi, parabole e iperboli potevano essere ottenute come sezioni di un unico cono obliquo con base circolare (precedentemente le diverse coniche erano ottenute mediante sezioni di diversi coni circolari retti).

Germinal Pierre Dandelin (1783-1842), avvalendosi di un cono circolare retto, spiegò le proprietà focali di quelle curve.  

- Come sappiamo, un'ellisse può essere ottenuta anche mediante la sezione di un cilindro con un piano obliquo rispetto all'asse del cilindro. Considerando, infatti, un cilindro circolare retto, sezionato da un piano obliquo a, la curva di sezione è un'ellisse.

- L'ellisse è il luogo dei punti, la somma delle cui distanze da due punti fissi (detti fuochi) è costante (PF1+PF2=costante).

- Inscriviamo nel cilindro due sfere in modo che siano tangenti al cilindro in due cerchi c1 e c2 ed al piano di sezione a in F1 ed F2. I cerchi c1 e c2 sono tra loro paralleli e appartengono a piani perpendicolari all'asse a del cilindro.

- Per evidenti ragioni di simmetria (la sfera è caratterizzata da infiniti piani di simmetria passanti tutti per il centro della sfera stessa), dato un punto P, esterno alla sfera, gli infiniti segmenti tangenti alla sfera, aventi un estremo in P, hanno tutti lunghezza uguale tra loro.

- Pertanto PP1 e PF1 sono segmenti uguali tra loro: infatti, appartengono entrambi a piani tangenti la sfera e, per costruzione, i punti P1 ed F1 sono anche i punti di tangenza. Similmente, il segmento PP2 è congruente con PF2.

- Poiché i due cerchi di tangenza delle due sfere sono tra loro paralleli, si avrà anche che PP1+PP2=costante.

- Da quanto visto, ne segue si ottiene che PF1+PF2=costante, che è quanto si voleva dimostrare.

A partire da quanto visto sopra, si può dunque notare la stretta analogia con la proiezione parallela obliqua: le rette proiettanti che inviluppano la sfera da proiettare su di un piano obliquo rispetto alla loro direzione, costituiscono il cilindro, mentre le due sfere tangenti il piano di proiezione (equivalente al piano di sezione visto sopra), sono anche equivalenti alla sfera da proiettare S (infatti, lo spostamento del solido o del punto da proiettare lungo la direzione di proiezione non modifica la proiezione stessa, per una proiezione parallela).

Vediamo ora come si costruisce la rappresentazione della sfera S in assonometria militare.

-        Per semplicità il centro della sfera coincide con l'origine degli assi.

-        Sappiamo che la proiezione della sfera genera un'ellisse.

-        Sappiamo anche che, in un'ellisse, gli assi sono la proiezione di una coppia di diametri tra loro ortogonali del cerchio (in questo caso il contorno apparente della sfera).

-        L'asse minore dell'ellisse coinciderà con un diametro della sfera: precisamente con il diametro parallelo al quadro e che per questo non subisce deformazione nella proiezione.

Nel caso di assonometria militare monometrica, poiché l'angolo di incidenza della direzione assonometrica sul piano di proiezione è pari a 45°, i due fuochi F1 ed F2 si troveranno sul cerchio che passa per gli estremi dell’asse minore dell’ellisse.

Per definire la lunghezza dell'asse maggiore (unica incognita) si procede nel modo seguente:

-        Conoscendo la definizione dell'ellisse (luogo dei punti, la somma delle cui distanze da due punti fissi (detti fuochi) è costante), ne consegue che 2*A1F1=F2V1+F1V1, dove A1 è un estremo del semiasse minore dell’ellisse, V1, V2 sono i due estremi dell’asse maggiore.

-        La stessa somma è inoltre pari anche alla lunghezza dell'asse maggiore dell'ellisse. Basterà pertanto puntare il compasso in F1 e misurare la sua distanza da A1, per poi puntarlo ancora in C (centro dell’ellisse) per ottenere V1 e V2.

Nel caso di assonometria dimetrica, per definire la lunghezza CV1 del semiasse maggiore si dovranno prima definire le posizioni dei due fuochi F1 ed F2, conoscendo l'inclinazione dei raggi proiettanti rispetto al piano di proiezione. Successivamente si procederà come nel caso precedente.

Una volta trovati gli elementi dell'ellisse, sarà utile rappresentare anche alcuni meridiani e paralleli della sfera, per rendere più espressivo il disegno.

Le proiezioni dei meridiani si ottengono mediante coppie di diametri coniugati (perpendicolari tra loro).