 A.Flocon, A.Barre, La perspective curviligne, Flammarion, Paris 1968, p. 173 (particolare). |
Il
programma ZEUS
Camillo Trevisan trevisan@iuav.it
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| Copyright Camillo Trevisan, luglio 1997. |
| Download freeware Zeus+Cartesio 3.02i, versione italiana (749 kB) |
Il programma
Cartesio
esegue qualsiasi tipo di proiezione su piano e ne mostra immediatamente i
risultati grafici sul video.
Esiste tuttavia anche l'interessante branca costituita dalle proiezioni su
superfici generiche: sferiche, coniche, cilindriche, ellissoidiche o di qualsiasi
altro tipo, purché non piane.
Dato che, di norma, la rappresentazione finale avviene sulla superficie piana
del video o di un foglio di carta, quelle proiezioni devono poi subire una
"contro-proiezione" su superficie piana.
Sia la prima sia la seconda proiezione possono infine essere di tipo conico
o cilindrico, vale a dire che il centro di proiezione e quello di
contro-proiezione possono essere posti a distanza finita (punto proprio)
o infinita (punto improprio) dagli oggetti proiettati.
Si creano così quattro classi:
1) Centro di proiezione proprio, Centro di contro-proiezione
proprio.
2) Centro di proiezione proprio, Centro di contro-proiezione
improprio.
3) Centro di proiezione improprio, Centro di contro-proiezione
proprio.
4) Centro di proiezione improprio, Centro di contro-proiezione improprio.
Inoltre è evidente che, se il centro di contro-proiezione coincide
con il centro di proiezione con vi sarà nessuna differenza tra quella
rappresentazione ed una normale proiezione su piano.
Dato che i tempi di calcolo per produrre questo tipo di proiezioni non sono
compatibili con l'interattività richiesta da un programma grafico,
si è scelto di creare un programma ad hoc che operi in parallelo
con AutoCAD.
Il programma ZEUS consente di proiettare entità grafiche contenute in un file di tipo DXF su di una superficie generica definita da un massimo di 5400 facce 3D.
Le entità da proiettare sono contenute in un file di tipo DXF di grandezza
indefinita.
Vengono proiettate le entità i cui punti appartengono ai gruppi DXF
10..17 (per la coordinata X dei punti che definiscono le entità stesse), 20..27
(Y), 30..37 (Z).
Possono dunque essere proiettate 3Dfacce, linee, punti, polilinee
3D (fare riferimento al manuale AutoCAD per l'identificazione
completa delle entità trasformabili).
Non saranno trasformate correttamente le entità arco e cerchio,
che dovrebbero essere approssimati con polilinee 3D.
Nel caso di 3Dfacce sarà poi possibile eseguire con successo il comando
NASCONDI (HIDE).
Le entità Mesh e i blocchi devono essere "esplosi"
ripetutamente per ottenere le singole entità primitive che li compongono.
Per trasformare solidi e regioni (versione 13 e successive) è necessario esportarli in
formato 3DStudio (comando 3DSOUT, usando i parametri di default), e
importarli nuovamente in AutoCAD con il comando 3DSIN. Le entità importate, una volta
"esplose", saranno nella forma di 3Dfacce e pertanto risulteranno
trasformabili.
Tuttavia, in questo caso, potranno comparire linee di
tassellazione e spigoli di facce che in realtà non dovrebbero essere visibili.
Per renderle invisibili usare il comando EDGE.
Le facce che definiscono la superficie di proiezione sono anch'esse contenute
in un file di tipo DXF e possono assumere qualsiasi giacitura nello spazio:
essere contigue a formare una superficie curva oppure ondulata o a cuspide,
sovrapposte o staccate tra loro.
Zeus trasforma ogni faccia 3D del file DXF in una o due facce triangolari
di area non nulla (l'area viene considerata nulla quando il semi-perimetro
della faccia triangolare è inferiore a 0.00001 unità del disegno
oppure se l'area è inferiore a 0.00001 unità al quadrato).
Il programma cercherà, per ogni punto delle entità da proiettare,
la prima faccia che contiene il punto di intersezione con la retta che unisce
il Centro di Proiezione al punto da proiettare.
Se nessuna faccia è intersecata dalla retta, l'utente viene avvertito
e il programma memorizza il punto originario.
È dunque da verificare in AutoCAD (mediante il comando VISTAD [DVIEW])
che, dal Centro di Proiezione, gli oggetti siano completamente contenuti
all'interno della superficie di proiezione.
| Schema assonometrico
della configurazione proiettiva.
La superficie di proiezione è composta da quattro facce di colore rosso, poste a cuspide. |
 |
Una tipica sessione di lavoro con ZEUS prevede la preventiva preparazione, in AutoCAD, di due file DXF:
- il primo contenente le facce3D che individuano la superficie di
proiezione;
- il secondo comprendente le entità da proiettare.
ZEUS chiederà di immettere i nomi dei due file e le coordinate di due punti:
- il Centro di Proiezione;
- il Centro di Contro-proiezione.
È anche possibile non fornire le coordinate di quest'ultimo punto,
dato che possono essere trovate automaticamente dal programma (Contro proiezione
dal centro di Proiezione e Ortoproiezione) oppure non essere necessarie (Nessuna
Contro-proiezione).
Infine, il programma chiederà di immettere il nome del file DXF di
uscita che conterrà le entità proiettate.
Questo file potrà essere importato in AutoCAD, mediante il comando
DXFIN, e rappresentato in vari modi, sia in assonometria ortogonale per mezzo
del comando PVISTA [VPOINT], sia in prospettiva per mezzo di VISTAD [DVIEW].
L'opzione Controllo distanza, inizialmente attivata,
esegue, per ogni punto proiettato, la verifica se la distanza tra il Centro
di Proiezione e il punto da proiettare è maggiore di quella tra lo
stesso Centro di Proiezione e il punto proiettato.
Può accadere, infatti, che un punto possa essere proiettato su più
di una faccia appartenente alla superficie di proiezione: in quel caso, se
il Controllo distanza è disattivato, viene presa
in considerazione la prima faccia intersecata, che potrebbe non essere quella
corretta.
D'altra parte, se il Controllo distanza è attivato,
vengono scartati tutti i punti da proiettare che si trovano più vicini
al Centro di Proiezione, rispetto alla superficie di proiezione.
Nel caso tutti i punti da proiettare si trovino, rispetto al centro di
proiezione, al di là della superficie di proiezione, è dunque
opportuno mantenere attiva l'opzione di Controllo
distanza.
Se, invece, qualche punto da proiettare si trova tra la superficie di proiezione
e il Centro di Proiezione, è utile disattivarla.
In ogni momento è poi possibile interrompere la proiezione mediante
il tasto ESCAPE o ESC, generalmente posto in alto a sinistra sulla tastiera.
L'uso del programma prevede varie possibilità:
- Contro-proiezione da punto "proprio".
- Ortoproiezione.
- Proiezione semplice sulla superficie, senza contro-proiezione.
| Pianta del modello
di esempio.
Il Centro di Proiezione è posto alle coordinate 2, 0, 0. La sfera è di raggio unitario e con centro nell'origine degli assi. |
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| Assonometria del
modello di esempio.
Notare la superficie di proiezione formata da 36 facce quadrangolari (72 triangolari). |
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| Prospettiva a quadro
piano, dal Centro di Proiezione, del modello di esempio.
Da notare che la proiezione della sfera è tutta contenuta nella superficie di proiezione. |
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CONTRO-PROIEZIONE DA PUNTO "PROPRIO"
Dopo la proiezione sulla superficie (usando il Centro di Proiezione), ogni punto viene contro-proiettato su un piano ideale a partire da un punto, di norma diverso dal Centro di Proiezione e posto a distanza finita dagli oggetti (classi 1 e 3).
| Schema assonometrico della configurazione proiettiva nel caso di contro-proiezione da punto "proprio", posto a distanza finita dagli oggetti. |  |
Dopo la proiezione sulla superficie, il punto viene contro-proiettato su
di un piano ideale per mezzo di rette che si dipartono da un Centro di
Contro-proiezione, di norma diverso dal Centro di Proiezione.
Le entità non vengono realmente proiettate su di un piano, poiché
in quel caso le eventuali facce 3D risulterebbero sovrapposte una all'altra,
facendo mancare la possibilità di eliminare correttamente le linee
nascoste.
Viene perciò mantenuta, per ogni punto, l'informazione di profondità
relativa al Centro di Proiezione.
Il modello proiettato è dunque tridimensionale, anche se l'unico punto
corretto di vista è il Centro di Contro-proiezione.
Per essere rappresentato correttamente in AutoCAD, il modello trasformato
deve essere infatti visto in prospettiva usando il comando VISTAD [DVIEW].
È anche opportuno usare l'opzione PUnti [POints] che prevede l'immissione
del punto di Mira (un qualsiasi punto rivolto verso l'oggetto) e, soprattutto,
del Punto di Vista (APfot [CAmera]).
Le coordinate da fornire per questo punto sono le stesse usate in ZEUS per
il Centro di Contro-proiezione.
Per facilitare il compito di ricordare quelle coordinate, ZEUS aggiunge al
file di uscita, contenente le entità proiettate, un layer dal
nome USO_VISTAD che contiene un segmento di colore giallo (colore
2) che congiunge l'origine degli assi al Centro di Contro-proiezione.
È da notare che, mentre la scelta del Punto di Vista nel comando VISTAD
è obbligata, il Punto di Mira (il Punto Principale della prospettiva)
può essere scelto con maggiore libertà.
È evidente però che quest'ultimo dovrà puntare verso
l'oggetto da rappresentare, dato che, in caso contrario, l'oggetto stesso,
se posto dietro l'osservatore, non sarà visibile.
| Prospettiva dal
Centro di Contro-proiezione (VISTAD PU 0,0,0 2,-1,1), con hidden
line. Il modello, se composto da facce 3D, può essere sottoposto al comando Nasconde che consente di eliminare le facce non visibili.
|
 |
| Il modello della figura precedente, visto in assonometria, da un'altra direzione rispetto a quella prevista. Il modello è tridimensionale e non appiattito sulle facce della superficie di proiezione, per consentire l'eliminazione delle linee nascoste. Notare il segmento di colore giallo, che congiunge il Centro di Contro-proiezione con l'origine degli assi. |  |
ORTOPROIEZIONE
Le entità vengono proiettate sulla superficie facendo riferimento ad un Centro di Proiezione "proprio" o "improprio", diverso dall'origine degli assi e successivamente contro-proiettate da un punto "improprio", lungo la direzione che unisce l'origine degli assi cartesiani al Centro di Proiezione.
| Schema assonometrico
della configurazione proiettiva nel caso di contro-proiezione
Ortografica.
|
 |
Dopo la proiezione sulla superficie, il punto viene contro-proiettato su
di un piano ideale per mezzo di rette parallele alla retta che unisce l'origine
del sistema cartesiano al Centro di Proiezione.
In questo caso la contro-proiezione è Ortografica, poiché le
rette proiettanti, parallele tra loro dato che si tratta di un'assonometria
ortogonale, risultano anche tutte perpendicolari al piano finale di
rappresentazione (classi 2 e 4).
Per una corretta visione del modello proiettato, è necessario usare il comando AutoCAD PVISTA [VPOINT], seguito dalle tre coordinate del Centro di Proiezione usato in ZEUS.
Nel file di uscita, per maggior chiarezza, viene aggiunto un nuovo
layer avente nome fisso USO_PVISTA e contenente un segmento
di colore rosso (colore 1) che unisce l'origine del sistema cartesiano al
Centro di Proiezione.
Si potranno, in tal modo, ricavare le coordinate del punto direzione, da
usare nel comando PVISTA, direttamente all'interno del disegno.
Per poter mantenere la possibilità di nascondere le linee non visibili
(comando AutoCAD NASCONDE [HIDE], valido solo per facce3D), ZEUS non proietta
veramente le entità su di un piano (dato che in quel caso si verrebbero
a trovare tutte "appiattite" una sull'altra), ma mantiene, per ogni punto,
le informazioni di profondità relativa al Centro di Proiezione.
In altre parole, rispetto all'ideale piano di contro-proiezione e di
rappresentazione (piano che sarà anche perpendicolare alla retta che
unisce l'origine con il Centro di Proiezione), ogni punto sarà posto
ad una distanza pari alla distanza tra lo stesso punto e il Centro di
Proiezione.
In questo modo le posizioni relative di ogni punto rispetto al centro di
Proiezione vengono mantenute inalterate anche nella contro-proiezione.
| Assonometria ottenuta
usando le coordinate del Centro di Proiezione (PVISTA 2,0,0), con hidden
line. Il modello, se composto da facce 3D, può essere sottoposto al comando Nasconde che consente di eliminare le facce non visibili. |
 |
| Il modello della figura precedente, visto in assonometria, da un'altra direzione rispetto a quella prevista. Il modello è tridimensionale e non appiattito sulle facce della superficie di proiezione, per consentire l'eliminazione delle linee nascoste. Notare il segmento di colore rosso, che congiunge il Centro di Proiezione con l'origine degli assi. |  |
PROIEZIONE SEMPLICE SULLA SUPERFICIE, SENZA CONTRO-PROIEZIONE
Le entità vengono proiettate sulla superficie a partire dal Centro
di Proiezione.
Tutte le entità si troveranno così a giacere sulla superficie
di proiezione e non sarà dunque possibile applicare correttamente
il comando NASCONDE [HIDE] alle eventuali facce3D.
| Schema assonometrico
della configurazione proiettiva. Le entità vengono proiettate sulla superficie, senza alcuna contro-proiezione. In questo caso, però, non potranno essere nascoste correttamente le linee non visibili. |
 |
Questa possibilità torna utile, ad esempio, nella scenografia, quando
è necessario proiettare su di una quinta, anche complessa a non piana,
una ideale scena tridimensionale retrostante.
Il modello tridimensionale verrà proiettato sulla superficie e questa
potrà essere poi rappresentata in vari modi.
Ad esempio, ogni faccia della superficie potrà essere rappresentata
in prospetto in modo da poterla stampare su carta per ricreare facilmente
la configurazione reale della scena teatrale.
La superficie di proiezione può anche essere facilmente sviluppata
sul piano (in AutoCAD) mediante il comando ROTATE3D. Definita infatti una
linea sullo spigolo della faccia da ruotare, il comando LISTA [LIST] fornisce
il valore dell'angolo da impostare nel comando ROTATE3D per portare la faccia
stessa sul piano XY.
È importante notare che le facce 3D in AutoCAD sono tipicamente
quadrangolari e non necessariamente piane, dato che il quarto punto può
anche non appartenere al piano passante per gli altri tre.
Per questo, in ZEUS, ciascuna faccia viene suddivisa in due facce triangolari
con la seguente modalità: i primi tre punti della faccia DXF generano
la prima faccia triangolare, il terzo, il quarto ed ancora il primo punto
della faccia DXF formano invece la seconda faccia triangolare.
In tal modo, però, non si ha nessuna certezza che le due facce triangolari
si appoggino realmente alla faccia quadrangolare di AutoCAD.
Questa potrebbe infatti essere meglio interpolata da due facce costituite,
ad esempio, dai punti 2, 3 e 4, la prima, e 4, 1 e 2, la seconda.
Per essere certi che il modello proiettato sia veramente adagiato sulle facce
definite in AutoCAD è necessario usare, nella costruzione della superficie
di proiezione, solo facce piane o triangolari.
Nell'uso comune del programma, questo non è però vincolante
dato che, di norma, le differenze sono molto piccole e spesso non rilevabili.
Nel file di uscita viene creato un nuovo layer, avente nome NO_CONTRO_PROIEZIONE e contenente un segmento di colore verde (colore 3) che unisce l'origine al Centro di Proiezione.
| Assonometria del
modello da una direzione diversa rispetto a quella prevista, senza hidden
line.
In questo caso le facce sono tutte proiettate sulla superficie di proiezione. |
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| Assonometria del
modello da una direzione diversa rispetto a quella prevista, con hidden
line.
Da notare che le linee non sono nascoste correttamente, dato che tutte le facce sono sovrapposte. |
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| Prospettiva del
modello dal Centro di Proiezione.
Non vi è nessuna differenza tra questa rappresentazione ed una normale prospettiva a quadro piano. |
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