Appendice B.
Il programma TROMPE e il metodo di costruzione del trait proposto da Delorme

Camillo Trevisan
 trevisan@iuav.it

Appendice al saggio Sulla stereotomia, il CAD e le varie trompe d'Anet pubblicato nel volume
Riccardo Migliari (a cura di), Geometria e Architettura. Strumenti del dottorato di ricerca in Rilievo e Rappresentazione, Gangemi, Roma 2000

 

Per comprendere a fondo i meccanismi geometrici sui quali si fonda il metodo del trait, si è costruito un programma che riproduce puntualmente il metodo proposto da Philibert Delorme nel suo trattato; operando, però, direttamente nelle tre dimensioni dello spazio.

Il programma Trompe[1] genera il modello tridimensionale e i ‘cartoni’ di costruzione per una generica trompe conica. Sarà dunque molto semplice costruire, oltre al modello numerico fornito dal programma, anche il modello reale della trompe, semplicemente riportando su cartoncino sufficientemente pesante i cartoni bidimensionali calcolati dal programma, per ricomporli con la certezza che combacino perfettamente. Questi potranno essere usati anche come vere e proprie ‘casseforme’ per la costruzione di modelli di gesso, ancora più vicini alla trompe reale.

In tal modo si potrà contemperare l’analisi e lo studio geometrico esperito sul modello numerico attraverso il computer, con la manipolazione ed il controllo di un modello reale.

Definita la pianta, una sezione verticale dell’intradosso e dell’estradosso, oltre agli andamenti dei tagli per ciascun concio (vedi figure B.1..B.4, riferite all’esempio della trompe di Anet) – descrivendo le varie curve per punti, in forma di ‘polilinee 3D’ –, l’algoritmo di calcolo procede con le seguenti modalità:

A) Per ogni punto della pianta è trovato il piano verticale passante per quel punto e per il vertice della trompe, le cui coordinate sono fornite dall’utente nel corso del programma, come descritto nella figura B.5 (in tal modo sarà possibile modificare l’andamento della trompe senza variare la pianta o le sezioni, vedi appendice A).

B) Il piano interseca in un punto ciascuna delle due curve (l’intradosso e l’estradosso) che descrivono la sezione verticale della trompe. Per mezzo di una semplice proporzione - nota la distanza orizzontale tra il vertice e il punto sulla pianta, la distanza orizzontale tra il vertice e il punto sulla sezione e l’altezza del punto sulla sezione - sarà possibile determinare l’altezza sulla trompe di ogni punto della pianta (vedi figura B.6), esattamente come opera Delorme nel suo trattato. Si sono così definiti i contorni esterni inferiore e superiore della volta della trompe.

C) Per trovare le coordinate dei punti che definiscono i cartoni di taglio, il programma opera in modo inverso: per ogni punto relativo ai tagli, proiettato ortogonalmente sul piano orizzontale contenente la pianta e il vertice, è definita una retta orizzontale passante per quel punto e per il vertice della trompe. La retta interseca la pianta della trompe in un unico punto (sarà cura dell’utente far sì che la posizione del vertice non produca due intersezioni, come mostrato nella figura B.7). Usando ancora una volta le proprietà dei triangoli simili sarà possibile trovare l’altezza del punto proiettato sul contorno inferiore o superiore. Infatti in questo caso sono note: la distanza orizzontale tra il vertice e il punto sulla pianta (dato dall’intersezione tra la retta orizzontale appena detta con uno dei segmenti che definiscono la pianta), la distanza orizzontale tra il vertice e il punto sulla linea di taglio, l’altezza del punto stesso.

D) Trovati, per ogni linea di taglio, i punti sul profilo inferiore e superiore, da quest’ultimo viene lanciata una retta parallela alla congiungente il vertice con il corrispondente punto inferiore: pertanto il quarto punto di ogni cartone di taglio è definito dall’intersezione di tale retta con il piano verticale passante per il vertice e parallelo all’asse X (o un piano verticale parallelo all’asse Y, sempre passante per il vertice, nel caso la retta sia parallela all’asse X o infine un piano orizzontale e per il vertice se la retta è verticale), come descritto nella figura B.8.

E) Infine, il modello della trompe è completato a partire dal profilo superiore (a quota variabile), fino alla quota massima fissata dall’utente nel corso del programma.

Questi passaggi costruiscono il modello tridimensionale a facce della trompe, comprendendo le superfici esterne ed interne e le giunzioni tra i conci.

F) In un altro grafico saranno invece posti i cartoni bidimensionali, utili per la costruzione del modello reale della trompe e per la verifica ed il confronto diretto con le costruzioni presenti nei trattati di stereotomia.

I cartoni si riferiscono allo sviluppo delle superfici inclinate della volta inferiore e superiore (usando sempre, come polo di sviluppo, il vertice immesso dall’utente), lo sviluppo frontale che riporta le altezze di ogni punto ed ogni singolo cartone di taglio, sagomato sulla faccia esterna della trompe, completato dai cartoni triangolari che consentono la costruzione vera e propria della trompe, fornendo, per ogni concio, la sua esatta giacitura tridimensionale.

È anche tracciato il cartone dello sviluppo reale della volta superiore (non ottenuto usando il vertice come polo di sviluppo). È da notare, infatti, che il cartone superiore - ed anche il profilo superiore dello sviluppo verticale - è calcolato, come indica lo stesso Delorme, usando come polo di sviluppo il vertice fornito al programma dall’utente. In realtà, però, in tal modo il cartone non si può adattare al modello tridimensionale della trompe, poiché i profili superiori dei cartoni di taglio non concorrono verso il vertice ma procedono paralleli allo spigolo inferiore. In altre parole, i conci non terminano appuntiti sul vertice ma si mantengono di spessore quasi costante: quasi costante, poiché lo spessore destro del concio raramente è pari a quello sinistro.

Il programma costruisce così due diversi cartoni di sviluppo dell’estradosso (vedi figura 28 e B.11.2), il primo usando un solo vertice, il secondo adottando un ulteriore polo superiore per ciascun pannello di giunzione (vedi figura B.9).

Per la definizione dei cartoni di sviluppo e di giunzione tra i conci, il programma opera seguendo le medesime procedure usate da Delorme: reperimento della misura per mezzo di proporzioni (triangoli simili) e trilaterazione.

Le figure B.10.1 e B.10.2 illustrano, inoltre, la possibilità di attivare o meno la visibilità delle linee di tassellazione. La figura B.11.1 mostra varie proiezioni ortogonali del modello tridimensionale della trompe di Anet; la figura B.11.2 contiene invece i cartoni di sviluppo della stessa trompe, illustrata nella figura B.12. Infine, le figure B.13.1 e B.13.2 descrivono un’altra trompe di esempio.

Sulla stereotomia, il CAD e le varie trompe d’Anet

Figure

 

Figura B.1. Pianta della trompe.
Figura B.2. Sezione verticale inferiore del trait (intradosso).
Figura B.3. Sezione verticale superiore del trait (estradosso).
Figura B.4. Segmenti di separazione tra i conci.
Figura B.5. Individuazione delle intersezioni tra le due sezioni (l’inferiore e la superiore) ed una serie di piani verticali passanti per il vertice della trompe e per ciascun punto della pianta. Le due sezioni possono anche non essere verticali, né devono necessariamente appartenere ad un piano. Il programma, per ogni punto che definisce il tracciato della pianta, determina un piano verticale passante per quel punto e per il vertice della trompe conica. Tale piano intersecherà le due sezioni (quella dell’intradosso e quella dell’estradosso della volta della trompe) e individuerà pertanto due punti: il punto B ed il punto C. Per tali punti passeranno due rette generatrici delle superfici della volta.
Figura B.6. Reperimento delle altezze, sul contorno esterno della trompe, di ciascun punto della pianta; sia esso riferito alla volta inferiore (punto D), oppure a quella superiore (punto E). Trovati i punti B e C, sarà semplice - per mezzo di due proporzioni - trovare le altezze dell’estradosso e dell’intradosso sulla verticale del punto T. Come si vedrà in seguito, se il punto D è univocamente determinato, il punto E potrà essere individuato dalla retta V-B o in altro modo, facendo sì che lo spessore della volta rimanga costante.
Figura B.7. Se la linea che unisce ciascun punto della pianta con il vertice è parzialmente esterna alla pianta stessa, alcune facce del modello saranno anch’esse parzialmente esterne alla trompe. Sarà pertanto cura dell’utente far sì che tutti i segmenti che uniscono il vertice della trompe con i punti della pianta, siano completamente interni al tracciato della pianta stessa.
Figura B.8. Reperimento dei quattro punti, appartenenti ad un piano, che definiscono gli estremi dei cartoni di taglio. Ogni concio viene delimitato per mezzo di un segmento che unisce due punti: uno appartenente alla sezione inferiore della volta, l’altro a quella superiore. Il programma troverà il piano passante per questi due punti e per il vertice V. Per dare uno spessore costante al concio, trovato il punto E, il programma definirà anche una retta passante per E e parallela a V-D. L’intersezione della retta per E con un piano verticale per V e parallelo all’asse X, fisserà anche il quarto vertice del cartone di giunzione. 
Figura B.9. Assonometria ortogonale trimetrica dei pannelli di giunzione tra i conci: da notare l’uso di un polo superiore per ciascun cartone. In tal modo i bordi dei pannelli si mantengono paralleli tra loro.
Figura B.10.1. Rappresentazione della trompe con tutte le linee di tassellazione, vale a dire con tutte le facce che definiscono il modello rappresentate con gli spigoli in vista.
Figura B.10.2. Rappresentazione della medesima porzione di trompe, senza linee di tassellazione. In questo caso, però, quando si eliminano le linee nascoste, alcuni spigoli non saranno rappresentati. Nell’esempio, gli spigoli mancanti, del resto di semplice reperibilità, sono stati aggiunti manualmente ed evidenziati con linee punteggiate.
Figura B.11.1. Modello della trompe di Anet ottenuti mediante il programma Trompe.
Figura B.11.2. Cartoni di sviluppo della trompe di Anet ottenuti mediante il programma Trompe.
Figura B.12. Assonometria ortogonale dimetrica della trompe di Anet. Rendering eseguito sul modello tridimensionale a facce prodotto dal programma Trompe. Da notare le due ali laterali, indicanti le parti di concio interne ai muri di sostegno.
Figura B.13.1. Modello di una trompe di esempio.
Figura B.13.2. Cartoni di sviluppo di una trompe di esempio.

Nota

[1] Il programma Trompe (in forma compressa Trompe.zip), alcuni esempi – inclusa la trompe d’Anet - ed un breve manuale d’uso sono reperibili presso il sito Internet dell’Istituto Universitario di Architettura di Venezia, DPA (Dipartimento di Progettazione Architettonica), alla pagina: http://www.iuav.it/dpa/ricerche/trevisan/stereo/stereo.htm